0引言
跳频多址通信技术广泛应用在现代通信系统中[1]。跳频扩频系统的重要问题是在可供跳频的载频上的跳频序列具有好的汉明相关性。 相对于传统的周期汉明相关性，跳频序列的部分汉明相关性更具有一般性。对于跳频序列只含有时延的一维部分汉明相关性理论界的研究取得了很多成果[2-4]。当通信终端高速移动时，多普勒现象会导致频移，这样考虑跳频序列既有时延又有频移的二维汉明相关性具有重要的意义。目前对于跳频序列的二维汉明相关性的研究还比较少。文献[5]给出了无碰撞区跳频序列时频二维周期汉明相关的理论界。文献[6]给出了低碰撞区跳频序列时频二维周期汉明相关的理论界。 文献[7]构造出了满足时频二维周期汉明相关理论界低碰撞区跳频序列集。 文献[8-9]依据理论界对几类跳频序列集的时频二维周期汉明相关值进行了分析。
本文着重研究跳频序列和序列集时频二维部分汉明相关理论界，给出了跳频序列时频二维部分汉明自相关、互相关的概念，证明了跳频序列集时频二维部分汉明自相关、互相关所满足的理论界。
1相关概念
设F是频隙集合，周期为N的序列x=(x0,x1,…,xN-1)，xi∈F，i=0,1,…,N-1，称为F上的跳频序列[10]。F上的不同跳频序列组成的集合称为跳频序列集。
设Zq为q阶加法整数群。 对于Zq上任意两个周期为N的跳频序列,x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)，0≤τ≤N-1,ω∈Zq,称
为跳频序列x和y的时频二维周期汉明互相关函数。其中，当xi=yi时，h(xi,yi)=1，当xi≠yi时，h(xi,yi)=0。τ表示相对时延，ω表示频移,且i+τ≡(i+τ)modN，i=0,1,…,N-1。当x和y相等时，Hxy(τ,ω)被称为时频二维周期汉明自相关函数，记为Hxx(τ,ω)。
定义1 设x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…，yN-1)为Zq上两个周期为N的跳频序列，若对于0≤τ,t
nal Defense Industry Press,2005.
[2] NIU X H,PENG D Y,LIU F.Lower bounds on the periodic partial correlations of frequency hopping sequences with partial low hit zone[C]// Proceedings of the 4th International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications,Sapporo,Japan,2009:84-87.
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[5] 叶文霞.无碰撞区跳频序列与准同步/消息驱动跳频通信系统研究[D].成都:西南交通大学,2011:31-40.
YE W X.Investigation of no hit zone FH sequences,quasi-synchronous and message-diven FH systems[D].Chengdu:Southwest Jiaotong University,2011:31-40.
[6] 许成谦，马雅楠.时频低碰撞区跳频序列理论界的研究[J].燕山大学学报,2017,41(1):68-73.
XU C Q,MA Y N.Theoretical bounds on low hit zone of time-frequency frequency hopping sequences[J].Journal of Yanshan University,2017,41(1):68-73.
[7] 许成谦，马雅楠.二维时频低碰撞区跳频序列集的构造[J].系统工程与电子技术，2017,39(4):905-909.
XU C Q,MA Y N.Construction of frequency hopping sequence set with time-frequency two-dimensional low hit zone[J].Systems Engineering and Electronics.2017,39(4):905-909.
[8] 刘元慧，许成谦.两类跳频序列集时频二维汉明相关性的分析[J].系统工程与电子技术，2017,39(9):2132-2136.
LIU Y H,XU C Q.Analysis of time-frequency two-dimensional Hamming correlation of two frequency hopping sequence sets[J].Systems Engineering and Electronics,2017,39(9):2132-2136.
[9] 刘元慧，许成谦，方汶铭.基于m-序列的跳频序列集的构造与二维相关性分析[J].电子与信息学报，2017，39(10)：2449-2455 .
LIU Y H,XU C Q,FANG W M.Construction and two-dimensional correlation analysis of frequency hopping sequences based on m-sequence[J].Journal of Electronics & Information Technology，2017，39(10)：2449-2455 .
[10] 梅文华.跳频序列设计[M].北京：国防工业出版社，2016:5-19.
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[11] PENG D Y ,FAN P Z ,LEE M H.Lower bounds on the periodic hamming correlations of frequency hopping sequences with low hit zone[J].Science in China:Series F Information Sciences,2006,49(2):1-11.
0引言跳频多址通信技术广泛应用在现代通信系统中[1]。跳频扩频系统的重要问题是在可供跳频的载频上的跳频序列具有好的汉明相关性。 相对于传统的周期汉明相关性，跳频序列的部分汉明相关性更具有一般性。对于跳频序列只含有时延的一维部分汉明相关性理论界的研究取得了很多成果[2-4]。当通信终端高速移动时，多普勒现象会导致频移，这样考虑跳频序列既有时延又有频移的二维汉明相关性具有重要的意义。目前对于跳频序列的二维汉明相关性的研究还比较少。文献[5]给出了无碰撞区跳频序列时频二维周期汉明相关的理论界。文献[6]给出了低碰撞区跳频序列时频二维周期汉明相关的理论界。 文献[7]构造出了满足时频二维周期汉明相关理论界低碰撞区跳频序列集。 文献[8-9]依据理论界对几类跳频序列集的时频二维周期汉明相关值进行了分析。本文着重研究跳频序列和序列集时频二维部分汉明相关理论界，给出了跳频序列时频二维部分汉明自相关、互相关的概念，证明了跳频序列集时频二维部分汉明自相关、互相关所满足的理论界。1相关概念设F是频隙集合，周期为N的序列x=(x0,x1,…,xN-1)，xi∈F，i=0,1,…,N-1，称为F上的跳频序列[10]。F上的不同跳频序列组成的集合称为跳频序列集。设Zq为q阶加法整数群。 对于Zq上任意两个周期为N的跳频序列,x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)，0≤τ≤N-1,ω∈Zq,称(1)为跳频序列x和y的时频二维周期汉明互相关函数。其中，当xi=yi时，h(xi,yi)=1，当xi≠yi时，h(xi,yi)=0。τ表示相对时延，ω表示频移,且i+τ≡(i+τ)modN，i=0,1,…,N-1。当x和y相等时，Hxy(τ,ω)被称为时频二维周期汉明自相关函数，记为Hxx(τ,ω)。定义1 设x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…，yN-1)为Zq上两个周期为N的跳频序列，若对于0≤τ,t<N,0≤ω<q,0<L≤N,(2)则称Hxy(τ,ω;t|L)为跳频序列x和y起点为t、相关窗长度为L时频二维部分汉明互相关函数。当x和y相等时，Hxy(τ,ω;t|L)为跳频序列x和y的时频二维部分汉明自相关函数。 若t=0,L=N时，时频二维部分汉明相关函数退化为时频二维周期汉明互相关函数，这时Hxy(τ,ω;t|L)记为Hxy(τ,ω)。本文中，用表示跳频序列集S的最大时频二维部分汉明自相关。 用表示跳频序列集S的最大时频二维部分汉明互相关。当t=0,L=N时，Pa(S)和Pc(S)分别退化为跳频序列集S的最大时频二维周期汉明自相关和最大时频二维周期汉明互相关，分别记为Ha(S)和Hc(S)。 在不引起混淆的情况下记Pa(S)=Pa,Pc(S)=Pc。引理1 设F为q阶加法群频率集合。S是由F上M个周期为N跳频序列组成的集合，则跳频序列集总的时频二维周期汉明相关值证明在文献[6]的引理6中，取Z1=N-1,Z2=q-1即可以得到结论。证毕。2时频二维部分汉明相关性的理论界给定一个跳频序列集S，对于任意窗长度L，0<L≤N，起始点t，0≤t<N，令引理2 设S是频隙数为q，序列长度为N的M个跳频序列组成的序列集S，Pa和Pc分别为跳频序列集S的最大时频二维部分汉明自相关和最大时频二维部分汉明互相关，对于任意整数L，0<L≤N，则P(L)≤ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc。证明对于x,y∈S，由定义1知，Hxy(τ,ω;t|L)因此ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc，证毕。设F={f0,f1,…,fq-1}是频隙大小为q的频率集合，且F为q阶加法群, 包含M个周期为N的跳频序列组成的集合对于任意频隙,分别表示频隙f在xl,t和bk中发生的次数。引理3[11]对于任意正整数τ，τ=0,1,…,N-1,有推论1 对于任意正整数t,τ,L,且t,τ=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,有证明设…+m(bt+L-1+τ,fi)]，因为跳频序列是周期为N的序列,所以bN+τ=bτ,bN+τ+1=bτ+1,…,bN+τ+L-2=bτ+L-2。 这样有由引理3知,又因为所以证毕。推论2 对于任意起始点t=0,1,…,N-1，窗长度L=1,2,…,N，跳频序列长N,频隙集大小q，跳频序列个数有证明对于任意i=1,2,…,M,τ=0,1,…,L-1,ω=0,1,…,q-1,t=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,因为所以由文献[11]中引理3的证明可知所以证毕。令函数m(bk+τ+ω,fi)，(3)显然有下面给出Pi(L)的下界。推论3 对于任意正整数i，0≤i≤q-1，令则证明令uk=m(bk,fi),vk=m(b(k)+ω,fi),其中,k=t,t+1,…,t+L-1,0≤t≤N-1,则由式(3)得考虑变量为uk,vk的函数Pi(L)在约束条件下的优化问题。利用拉格朗日法可解得Pi(L)的最小值为即证毕。引理4[11]设g1,g2,…,gq为正整数，若满足则引理5 设频隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M个周期为N的跳频序列组成的集合，x∈S,y∈S，对于任意正整数t，L,0≤t≤N-1,1≤L≤N,则P(L)≥M2NL。证明由推论3知由推论1知再应用引理4得证毕。定理1 设频隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M个周期为N的跳频序列组成的集合，Pa是最大时频二维部分汉明自相关，Pc是最大时频二维最大部分汉明互相关，则对于任意正整数t，L，0≤t≤N-1,1≤L≤N,有(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L。证明由引理2和引理5可得M2NL≤P(L)≤ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc,则(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L，证毕。3平均时频二维部分汉明相关理论界设S是由Zq上M个周期为N的跳频序列组成的集合，相关窗长度为L，起点为t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,用表示跳频序列集S的总的时频二维部分汉明自相关函数。用表示跳频序列集S的总的时频二维部分汉明互相关函数。用表示跳频序列集S的平均时频二维部分汉明自相关函数。用表示跳频序列集S的平均时频二维部分汉明互相关函数。定理2设S是由Zq上M个周期为N的跳频序列组成的集合，相关窗长度为L，起点为t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,则有(4)证明Ra(S;L)+2Rc(S;L)=由引理1知则Ra(S;L)+2Rc(S;L)≥N2M2L-MNL，又因为所以证毕。使得定理2中不等式(4)成立的跳频序列集S称为最优平均时频二维部分汉明相关性跳频序列集。4低碰撞区跳频序列集的平均时频二维部分汉明相关性的理论界用Hxy(τ,ω；t|L)替换文献[6]定义2中的H(xy)(l,v)得到的区间[0,LHt]×[0,LHf]、[0,LAHt]×[0,LAHf]、[0,LCHt]×[0,LCHf]分别为跳频序列集S的时频二维部分汉明相关低碰撞区、时频二维部分汉明自相关低碰撞区、时频二维部分汉明互相关低碰撞区。 对于任意正整数Z1,Z2，0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf,用表示低碰撞区跳频序列集S的时频二维总部分汉明自相关函数。 用表示低碰撞区跳频序列集S的时频二维总部分汉明互相关函数。 用表示低碰撞区跳频序列集S的平均时频二维部分汉明自相关函数。 用表示低碰撞区跳频序列集S的平均时频二维部分汉明互相关函数。定理3 设F是频隙数目为q的频率集合，S是由F上M个周期为N的跳频序列组成的集合，相关窗长度为L，起点为t，1≤L≤N,0≤t≤N-1，PLa和PLc分别是跳频序列集S的最大时频二维部分汉明自相关值和最大时频二维部分汉明互相关值，和分别为跳频序列集S平均时频二维部分汉明自相关值和互相关值，并且则对于任意正整数Z1,Z2，0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf,有ML(Z1+1)(Z2+1)-Lq。(5)证明对于0≤Z1≤LHt，0<Z2<LHf，有由文献[6]中引理6可知即所以整理可以得出结论中的不等式，证毕。令将代入不等式(5)中即可得如下推论。推论3在定理3条件下，有(6)5结论将跳频序列的一维部分汉明相关函数扩展到时频二维部分汉明相关函数，在提出跳频序列的时频二维部分汉明自相关、时频二维部分汉明互相关、平均时频二维部分汉明自相关、平均时频二维部分汉明互相关等概念基础上，证明了跳频序列集时频二维部分汉明相关、平均时频二维部分汉明相关满足的理论界，证明了低碰撞区跳频序列集平均时频二维部分汉明相关满足的理论界。参考文献[1] 梅文华，王淑波，邱永红，等.跳频通信[M].北京：国防工业出版社，2005.MEI W H,WANG S B,QIU Y H，et al.Frequency hopping communication[M].Beijing:National Defense Industry Press,2005.[2] NIU X H,PENG D Y,LIU F.Lower bounds on the periodic partial correlations of frequency hopping sequences with partial low hit zone[C]// Proceedings of the 4th International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications,Sapporo,Japan,2009:84-87.[3] REN W L,FU F W,ZHOU Z C,et al.On the average partial hamming correlation of frequency-hopping sequnces[J].IEICE Trans.Fundamentals,2013,E96-A(5)：1010-1013[4] NIU X H,PENG D Y,LIU F,et al.Lower bounds on the maximum partial correlations of frequency hopping sequence set with low hit zone[J].IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics,Communications and Computer Sciences,2010,E93-A(11):2227-2231.[5] 叶文霞.无碰撞区跳频序列与准同步/消息驱动跳频通信系统研究[D].成都:西南交通大学,2011:31-40.YE W X.Investigation of no hit zone FH sequences,quasi-synchronous and message-diven FH systems[D].Chengdu:Southwest Jiaotong University,2011:31-40.[6] 许成谦，马雅楠.时频低碰撞区跳频序列理论界的研究[J].燕山大学学报,2017,41(1):68-73.XU C Q,MA Y N.Theoretical bounds on low hit zone of time-frequency frequency hopping sequences[J].Journal of Yanshan University,2017,41(1):68-73.[7] 许成谦，马雅楠.二维时频低碰撞区跳频序列集的构造[J].系统工程与电子技术，2017,39(4):905-909.XU C Q,MA Y N.Construction of frequency hopping sequence set with time-frequency two-dimensional low hit zone[J].Systems Engineering and Electronics.2017,39(4):905-909.[8] 刘元慧，许成谦.两类跳频序列集时频二维汉明相关性的分析[J].系统工程与电子技术，2017,39(9):2132-2136.LIU Y H,XU C Q.Analysis of time-frequency two-dimensional Hamming correlation of two frequency hopping sequence sets[J].Systems Engineering and Electronics,2017,39(9):2132-2136.[9] 刘元慧，许成谦，方汶铭.基于m-序列的跳频序列集的构造与二维相关性分析[J].电子与信息学报，2017，39(10)：2449-2455 .LIU Y H,XU C Q,FANG W M.Construction and two-dimensional correlation analysis of frequency hopping sequences based on m-sequence[J].Journal of Electronics & Information Technology，2017，39(10)：2449-2455 .[10] 梅文华.跳频序列设计[M].北京：国防工业出版社，2016:5-19.MEI W H.Frequency hopping sequences design [M].Beijing:National Defense Industry Press,2016:5-19.[11] PENG D Y ,FAN P Z ,LEE M H.Lower bounds on the periodic hamming correlations of frequency hopping sequences with low hit zone[J].Science in China:Series F Information Sciences,2006,49(2):1-11.
文章来源：理论界 网址: http://llj.400nongye.com/lunwen/itemid-12710.shtml
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