跳频扩频(FHSS)与跳时扩频(THSS)是2种重要的扩频通信方式.FHSS与THSS通信系统具有一系列独特优点,例如抗干扰能力强、具有多址组网能力、抗衰落能力、易于与窄带通信系统兼容和具有很好的保密性能等[1-2],所以,它们在民用移动通信、短距离无线通信和军事通信等无线通信领域获得了重要应用[3-4].在FHSS通信系统中,用跳频序列进行频移键控调制,使载波不断地跳变.在THSS通信系统中,用跳时序列控制信号发送时刻和发送时间的长短.尽管FHSS与THSS是2个完全不同的无线通信方式,但跳频序列和跳时序列却具有相同的数学形式和性质.汉明(Hamming)相关函数是跳频(时)序列的一个重要概念,跳频序列汉明相关值的大小是影响跳频通信系统性能的重要因素之一.设计具有优异性质的跳频序列集一直是扩频通信领域重要的理论研究方向.
在实际应用中,要求跳频序列集具有理想的汉明相关特性,即全部汉明相关函数的自相关值(零时延除外)和互相关值都为零,且要求跳频序列的数目尽可能多.但是,跳频序列集的汉明相关值与它们的频隙数目、序列长度和序列数目等参数有关,这些参数之间的数学关系称为“跳频序列的理论界”.跳频序列理论界是跳频序列集性能优异的评价标准,对跳频序列设计具有重要的指导意义.早期跳频序列的理论界基本上是在某些特殊条件下建立的.Lempel等[5]在1974年首先建立了“序列数目为1或2时,周期汉明相关函数的理论界”.1982年,Seay[6]给出了“限定汉明相关条件下序列数目和序列长度的理论界”.梅文华[7]在1992年建立了“非重复跳频序列集的理论界”,1994年建立了“宽间隔的非重复跳频序列集的理论界”[8].2004年,Peng等[9]建立了“一般跳频序列集的理论界”,该理论界被称为Peng-Fan界,作为判定一般跳频序列集性能的标准[10-12].2009年,Ding等[13]利用纠错码的理论界得到了几个新的跳频序列集的理论界.2011年,利用纠错码中的Singleton界,得出了跳频序列集的1个最大非平凡汉明相关的新理论界[14].
这些理论界几乎都是针对周期汉明相关函数的.但是,在实际应用中,跳频序列的部分汉明相关函数能更好地描述跳频扩频通信系统的性能[15].由于研究跳频序列的部分汉明相关函数很难,所以相关研究成果较少.在2004年,Eun等[15]导出了1个序列的部分汉明自相关函数的理论界(Eun-Jin-Hong-Song界).近年来,我们开始致力于研究跳频序列的部分汉明相关函数特性及其理论界,已获得一些新的结果.2010年,我们建立了任意跳频序列集的部分汉明相关函数的理论界,Eun-Jin-Hong-Song界是这个结果的特殊情况[16].
在上述理论界中,讨论的是跳频序列集汉明相关函数的最大值满足的不等式,这类理论界被称之为“最大汉明相关的理论界”.近年来,我们开始研究跳频序列平均汉明相关的性质及其理论界.在2010年,首次建立了满足跳频序列集的频隙数目、序列长度、序列数目、平均汉明自相关值和平均汉明互相关值等参数的理论界[17],同时建立平均周期部分汉明相关的理论界,得到了满足跳频序列集的频隙数目、相关窗长度、序列数目、平均周期部分汉明自相关值和平均周期部分汉明互相关值等参数的不等式[18].
本文全面系统地阐述跳频扩频序列集的理论界.
1 跳频序列周期汉明相关函数的理论界
跳频序列的汉明相关函数是刻划跳频通信系统性能的重要参数.首先给出一些符号和跳频序列及其汉明相关函数的定义.
用F={f1,f2,…,fq}表示频隙集,q=|F| 表示频隙数目,x=(x0,x1,…,xN-1) (xi∈F,i=0,1,…,N-1)称为F上的1个跳频序列,N称为跳频序列x的长度或周期,S是M个长度为N的跳频序列组成的集合.
对于任给2个频隙f1,f2∈F,令
定义 1.1任给2个跳频序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,l为整数,0≤l
0是2个整数,用q(u,v)表示u除以v的商,用r(u,v)表示u除以v所得的余数.
定理 1.1[5](Lempel-Greenberger界) 设S是由F上的1个长度为N的跳频序列组成的集合,r=r(N,q),那么
推论 1.2[5](Lempel-Greenberger界) 设S是由F上的1个长度为N的序列组成的集合,如果N=pn-1,q=pk,其中p是1个给定的素数,k和n是任意2个整数,满足1≤kq,L=sq+r,s≥0,0≤r≤q-1.
① 如果L>q,q不整除MN,且
那么
② 否则,理论界(42)与理论界(43)是等价的,亦即
在定理3.2或定理3.3中令序列个数M=1,得到如下结果.
定理 3.6(Niu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上的1个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有：
P
其中I=N/q.
注意到,N=qI+r,容易把(47)式化成(37)式,所以,Eun界是定理3.4的直接推论.
4 跳频序列汉明相关函数平均值的理论界
在早期跳频序列理论界研究中,几乎都是讨论跳频序列集汉明相关函数的最大值,使用最大汉明自相关边峰值和最大汉明互相关值来评价跳频序列集的性能,这是从“最坏”的角度来评价跳频通信系统性能,主要原因是数学处理的容易性.这类理论界被称之为“最大汉明相关理论界”.而对于跳频扩频通信系统性能评估,汉明相关函数的平均值更符合实际.由于研究汉明相关平均值很难,所以,关于平均汉明相关理论界的研究结果不多.近年来,我们深入讨论了汉明相关平均值的性质,开始研究平均汉明相关的理论界,建立了一批理论界.
首先给出跳频序列集平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关的定义.
定义 4.1令S是F上的由M个长度为N的跳频序列组成的集合,那么
S
分别称为跳频序列集S的周期汉明自相关碰撞总数和周期汉明互相关碰撞总数.将
A
分别称为序列集S的平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关.
在不引起混淆的时候,令Sa=Sa(S),Sc=Sc(S),Aa=Aa(S),Ac=Ac(S).
很明显,跳频序列集的平均碰撞数能够度量跳时通信系统的平均错误性能.希望Aa(S)和Ac(S)越小越好.
2010年,首次建立了跳频序列集的频隙数目、序列长度、序列数目、平均汉明自相关值和平均汉明互相关值等参数满足的理论界[17-18].
定理 4.1[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是频隙大小为q的集合F上的由M个长度为N的跳频序列组成的集合.设Aa和Ac分别表示序列集S的平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关,则有
如果1个跳频序列集S的参数使得(52)式的等号成立,则称S是关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集.
以下定理找到了最大周期汉明相关最优的跳频序列集与平均周期汉明相关最优的跳频序列集之间的1个关系.
定理 4.2[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合.如果S是关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集,那么S同时也是关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集.
一般地说,定理4.2的逆不成立,即“关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集”不一定是“关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集”.现在用一个例子进行说明.
例 4.1设频隙集F={0,1,2,3,4,5,6},构造3次跳频序列集S[17]如下：
即
s(2)=(0,2,2,5,2,5,5),
s(3)=(0,3,3,4,3,4,4),
s(4)=(0,4,4,3,4,3,3),
s(5)=(0,5,5,2,5,2,2),
s(6)=(0,6,6,1,6,1,1) }.
可见,跳频序列集S具有以下参数：频隙数目q=7,序列长度N=7,序列数目M=6.S的周期汉明相关值为
所以,S的最大汉明自相关边峰值Ha=2,最大汉明互相关值Hc=3,平均周期汉明自相关Aa=2和平均周期汉明互相关
可以验证,这些参数使(52)式的左右两边相等,所以S是“关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集”.将这些参数代入(6)式,得到819>245,所以S不是“关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集”.
现在讨论跳频序列集部分汉明相关函数平均值的理论界.首先给出部分汉明相关函数平均值的定义.
定义 4.2[18]令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N).跳频序列集S在相关窗L内的周期部分汉明自相关函数总值与周期部分汉明互相关总值分别定义为：
Tc(L):=
跳频序列集S在相关窗L内的周期部分汉明自相关函数平均值与周期部分汉明互相关平均值分别定义为：
A
2010年,我们建立平均周期部分汉明相关的理论界,得到了跳频序列集的频隙数目、相关窗长度、序列数目、平均周期部分汉明自相关值和平均周期部分汉明互相关值等参数满足的不等式[18].
定理 4.3[18](Niu-Peng-Liu界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有
其中I=NM/q.
在(57)式中,令L=N,则(57)式成为(52)式.所以,Peng-Niu-Tang界(52)是Niu-Peng-Liu界(57)的特殊情况.
2015年,我们通过分析每个频隙在整个序列集中的分布特性,改进了跳频序列集平均部分汉明相关函数理论界.
定理 4.4[28](Zhou-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有
其中r是NM模q的最小非负剩余.
由于(58)式中的I与(59)式中的r具有关系NM=Iq+r(0≤rnal Conference on Sequences and Their Applications. Paris:IEEE,2010:67-75.
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跳频扩频(FHSS)与跳时扩频(THSS)是2种重要的扩频通信方式.FHSS与THSS通信系统具有一系列独特优点,例如抗干扰能力强、具有多址组网能力、抗衰落能力、易于与窄带通信系统兼容和具有很好的保密性能等[1-2],所以,它们在民用移动通信、短距离无线通信和军事通信等无线通信领域获得了重要应用[3-4].在FHSS通信系统中,用跳频序列进行频移键控调制,使载波不断地跳变.在THSS通信系统中,用跳时序列控制信号发送时刻和发送时间的长短.尽管FHSS与THSS是2个完全不同的无线通信方式,但跳频序列和跳时序列却具有相同的数学形式和性质.汉明(Hamming)相关函数是跳频(时)序列的一个重要概念,跳频序列汉明相关值的大小是影响跳频通信系统性能的重要因素之一.设计具有优异性质的跳频序列集一直是扩频通信领域重要的理论研究方向.在实际应用中,要求跳频序列集具有理想的汉明相关特性,即全部汉明相关函数的自相关值(零时延除外)和互相关值都为零,且要求跳频序列的数目尽可能多.但是,跳频序列集的汉明相关值与它们的频隙数目、序列长度和序列数目等参数有关,这些参数之间的数学关系称为“跳频序列的理论界”.跳频序列理论界是跳频序列集性能优异的评价标准,对跳频序列设计具有重要的指导意义.早期跳频序列的理论界基本上是在某些特殊条件下建立的.Lempel等[5]在1974年首先建立了“序列数目为1或2时,周期汉明相关函数的理论界”.1982年,Seay[6]给出了“限定汉明相关条件下序列数目和序列长度的理论界”.梅文华[7]在1992年建立了“非重复跳频序列集的理论界”,1994年建立了“宽间隔的非重复跳频序列集的理论界”[8].2004年,Peng等[9]建立了“一般跳频序列集的理论界”,该理论界被称为Peng-Fan界,作为判定一般跳频序列集性能的标准[10-12].2009年,Ding等[13]利用纠错码的理论界得到了几个新的跳频序列集的理论界.2011年,利用纠错码中的Singleton界,得出了跳频序列集的1个最大非平凡汉明相关的新理论界[14].这些理论界几乎都是针对周期汉明相关函数的.但是,在实际应用中,跳频序列的部分汉明相关函数能更好地描述跳频扩频通信系统的性能[15].由于研究跳频序列的部分汉明相关函数很难,所以相关研究成果较少.在2004年,Eun等[15]导出了1个序列的部分汉明自相关函数的理论界(Eun-Jin-Hong-Song界).近年来,我们开始致力于研究跳频序列的部分汉明相关函数特性及其理论界,已获得一些新的结果.2010年,我们建立了任意跳频序列集的部分汉明相关函数的理论界,Eun-Jin-Hong-Song界是这个结果的特殊情况[16].在上述理论界中,讨论的是跳频序列集汉明相关函数的最大值满足的不等式,这类理论界被称之为“最大汉明相关的理论界”.近年来,我们开始研究跳频序列平均汉明相关的性质及其理论界.在2010年,首次建立了满足跳频序列集的频隙数目、序列长度、序列数目、平均汉明自相关值和平均汉明互相关值等参数的理论界[17],同时建立平均周期部分汉明相关的理论界,得到了满足跳频序列集的频隙数目、相关窗长度、序列数目、平均周期部分汉明自相关值和平均周期部分汉明互相关值等参数的不等式[18].本文全面系统地阐述跳频扩频序列集的理论界.1 跳频序列周期汉明相关函数的理论界跳频序列的汉明相关函数是刻划跳频通信系统性能的重要参数.首先给出一些符号和跳频序列及其汉明相关函数的定义.用F={f1,f2,…,fq}表示频隙集,q=|F| 表示频隙数目,x=(x0,x1,…,xN-1) (xi∈F,i=0,1,…,N-1)称为F上的1个跳频序列,N称为跳频序列x的长度或周期,S是M个长度为N的跳频序列组成的集合.对于任给2个频隙f1,f2∈F,令定义 1.1任给2个跳频序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,l为整数,0≤l<N,则把l=0,1,…,N-1(1)称为跳频序列x和y关于时延l的周期汉明相关函数,其中下标加法i+l按模N运算,这里只考虑正时延l.对于已知的跳频序列集S,其最大周期汉明自相关边峰值Ha(S) 及最大周期汉明互相关值Hc(S)分别定义为：Ha(S)=man{H(x,x;l)|x∈S,l=1,2,…,N-1};Hc(S)=max{H(x,y;l)|x,y∈S,x≠y,l=0,1,…,N-1}.令Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}.在不引起混淆的时候,令Ha=Ha(S),Hc=Hc(S),Hm=Hm(S).1个跳频序列集S包含以下参数：频隙数目q、序列长度N、序列数目M、最大汉明自相关边峰值Ha与最大汉明互相关值Hc.根据跳频通信设计的要求,应该使跳频序列集的参数具有如下特性[19-20]：1) 最大汉明自相关边峰值Ha尽可能小；2) 最大汉明互相关值Hc尽可能小；3) 当参数Ha、Hc、q及N给定时,序列数目M尽可能大.但是,上述参数受到一些约束条件的限制.为了评估跳频序列的性能,必须找出这些参数之间的数学关系式,这就是跳频序列理论界的研究内容.早在1974年,对于由1个或2个序列组成的特殊序列集,Lempel等[5]给出了周期汉明相关函数的理论界.设u≥0,v>0是2个整数,用q(u,v)表示u除以v的商,用r(u,v)表示u除以v所得的余数.定理 1.1[5](Lempel-Greenberger界) 设S是由F上的1个长度为N的跳频序列组成的集合,r=r(N,q),那么H(2)推论 1.2[5](Lempel-Greenberger界) 设S是由F上的1个长度为N的序列组成的集合,如果N=pn-1,q=pk,其中p是1个给定的素数,k和n是任意2个整数,满足1≤k<n,那么Ha≥pn-k-1.(3)定理 1.3[5](Lempel-Greenberger界) 设S是由F上的2个长度为N的跳频序列组成的集合,如果N=pn-1≥2,q=pk,其中p是1个给定的素数,k和n是任意2个整数,满足1≤k<n,那么Hm≥pn-k.(4)如果跳频序列集S中的任意2个不同序列的参数使得(4)式的等号成立,则称S是1个Lempel-Greenberger最优跳频序列集.1982年,Seay[6]给出了如下跳频序列集周期汉明相关函数的理论界.定理1.4[6](Seay界) 设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,如果M=qk+1,其中k是S内任意2个序列间的最大汉明相关值,那么(5)Lempel-Greenberger界和Seay界存在如下局限性：1) 只考虑了周期汉明相关函数的理论界,没有研究非周期汉明相关函数的理论界；2) 即使对于周期汉明相关函数,也只考虑了M的一些特殊值,例如M=1,2或qk+1,而不是对任意的M；3) 没有区分最大汉明自相关边峰值Ha和最大汉明互相关值Hc,而仅讨论了最大非平凡汉明相关值Hm的下界.由于实际跳频通信系统使用序列的数目都大于2,并且跳频序列集的汉明自相关值和汉明互相关值是相互联系的,即如果最大汉明自相关边峰值小,则它的最大汉明互相关值往往就大,反之亦然.所以根据Lempel-Greenberger 界与Seay界判定跳频通信系统的性能具有极大的局限性.研究跳频序列集一般参数满足的理论界具有重要的理论意义与应用价值.2004年,文献[9]找到了跳频序列集任意参数满足的数学关系式,建立了跳频序列集最大周期汉明自相关边峰值和最大周期汉明互相关值的下界定理.对于实数x,用x表示小于或等于x的最大整数,用x表示大于或等于x的最小整数.定理 1.5[9](Peng-Fan界) 设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,令I=MN/q,则有(N-1)qHa+(M-1)NqHc≥(MN-q)N,(6)(N-1)MHa+(M-1)MNHc≥2IMN-(I+1)Iq.(7)如果跳频序列集S的参数(Ha,Hc)是不等式(6)(或(7))的最小整数解,则称(Ha,Hc)是S的1个最优周期汉明相关对,同时称S是1个最优周期跳频序列集.注意到Hm=max{Ha,Hc},可得如下推论.推论 1.6设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,令I=MN/q,则有H(8)H(9)2016年,Chen等[21]证明了理论界(8)与(9)式是等价的.如果M=1,那么N=Iq+r,0≤r<q,(9)式成为如下形式.推论 1.7设S是由F上1个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,则有H(10)(10)式即是Lempel-Greenberger界(2).推论 1.8设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|.如果存在素数p和正整数k、n满足0≤k<n,N=pn-1,q=pk,0<M<q,那么(pn-2)Ha+(M-1)(pn-1)Hc≥Mp2n-k-2Mpn-k-pn+2,(11)H(12)容易看到,Lempel-Greenberger界(3)是界(12)在M=1时的特殊情况,Lempel-Greenberger界(4)是界(12)当M=2时的特殊情况.推论 1.9设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,令k=Hc,如果M=qk+1,那么(13)推论 1.10设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,令k=Hm,如果M=qk+1,那么(14)因为不等式对任意正整数k成立,所以在推论1.10的条件下,界(14)比Seay界(5)更紧.定理 1.5被学术界称为Peng-Fan界.Peng-Fan界打破了跳频序列理论界研究多年停滞不前的状况,引起了国内外许多学者对跳频序列理论界的研究兴趣,从此以后,一批新的理论界不断被发表出来.2009年,Ding等[13]利用循环码的Singleton界,给出了跳频序列集的1个新的理论上界.定理 1.11[13](Ding界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,Hm是序列集S的最大周期汉明相关值,则有(15)2011年,Yang等[14]利用循环码的Singleton界,给出了跳频序列集最大周期汉明相关值的1个新下界.定理 1.12[14](Yang界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,Hm是序列集S的最大汉明相关值,则有Hm≥logqMN-1.(16)在2013年,Liu和Peng[ 22]改进了跳频序列集的Singleton界.定理1.13[22](Liu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,则有在2014年,Liu等[ 23]通过引入M?bius函数,进一步改进了跳频序列集的Singleton界.定理 1.14[23](Liu-Peng-Han界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,则有(18)其中μ(d)是M?bius函数,定义为2 跳频序列非周期汉明相关函数的理论界跳频序列的非周期汉明相关函数是刻划跳频通信系统频率重合的又一个重要指标.首先给出跳频序列非周期汉明相关函数的定义.定义 2.1对于任意2个长度为N的跳频序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,l为整数,且0≤l<N,跳频序列x和y关于时延l的非周期汉明相关函数定义为l=0,1,…,N-1.(19)给定跳频序列集S,其最大非周期汉明自相关边峰值和最大非周期汉明互相关值分别定义为：maxl=1,2,…,N-1};(20)maxx≠y,l=0,1,…,N-1}.(21)令max为了简便,在不引起混淆的时候,令和max研究跳频序列非周期汉明相关函数的理论界较难,因此很长时间未见有关研究结果.在2004年,我们首次给出了跳频序列集最大非周期汉明自相关边峰值和最大非周期汉明互相关值的理论界[ 9].定理 2.1[9](Peng-Fan界) 设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,q=|F|,J=2MN/(M+q),则有(3MN-qN-M-q)N,(22)(4J-N-1)MN-J(J+1)(M+q).(23)如果跳频序列集S的参数是不等式(22)(或(23))的最小整数解,则称是S的一个最优非周期汉明相关对,同时称S是1个最优非周期跳频序列集.由于max可得推论2.2.推论 2.2设S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合,那么(24)(25)2013年,Liu等[ 24]改进了跳频序列集非周期汉明相关函数的理论界.定理 2.3[24](Liu-Peng-Niu界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,则有MN2-qN,(26)2IMN-(I+1)Iq,(27)其中I为MN/q的整数部分.2014年,Liu和Peng[ 25]建立了一个新的关于非周期汉明相关的跳频序列集序列数目的理论上界.定理 2.4[25](Liu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S是1个在频隙集F上的M个具有序列长度N的跳频序列组成的集合,是S的最大非周期汉明相关,则有(28)3 跳频序列部分汉明相关函数的理论界从理论上讲,跳频扩频通信系统使用的跳频序列集应具有“理想”的相关特性,即全部自相关值(零时延除外)和全部互相关值都为零.可是,从跳频序列理论界可知,这样的跳频序列集必须满足MN=q,其中,N为序列周期(长度),M为序列个数,q为频隙数目.对于实际跳频扩频通信系统,由于序列长度远远大于频隙数目,所以关系MN=q不可能成立.这就是说：“理想”跳频序列集是不存在的！因此,在实际跳频扩频通信系统中,总是存在用户间的多址干扰.跳频序列理论界同时说明,跳频序列集的序列个数随着汉明相关值的降低而减少.可见,实际跳频扩频通信系统需要“跳频序列多、汉明相关值小”的跳频序列集,是不能实现的.出现以上问题的主要原因是：为了便于进行理论研究,人们往往在序列的全周期内考虑汉明相关函数.为了克服以上困难,应该在“较小”的时延范围内考虑序列的汉明相关性.跳频序列的部分汉明相关就是在1个小于序列周期的相关窗内定义序列的汉明相关函数.由于跳频系统中的同步时间有限以及硬件的复杂性,通常跳频序列的相关窗的长度远远小于所选序列的周期,而且相关窗的长度会随着信道条件的变化而改变,所以部分汉明相关比全周期汉明相关能更好地衡量系统的性能.尽管对跳频序列部分汉明相关的研究较早,但遗憾的是,由于研究的困难性,公开的研究结果并不多.近年我们对跳频序列部分汉明相关函数进行了持续研究,获得了一系列成果.首先给出跳频序列部分汉明相关函数的定义.定义 3.1对于任意2个跳频序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,序列x和y在相对时延为,相关窗起点为j,相关窗长度为L时的周期部分汉明相关函数定义为：0<L≤N, 0≤j,τ<N,(29)其中,下标i+按模N运算.当x=y时,H(x,y;j|L;τ)称为周期部分汉明自相关函数；当x≠y时称为周期部分汉明互相关函数.如果j=0 并且L=N,周期部分汉明相关函数与周期汉明相关函数一致.跳频序列集S的最大周期部分汉明自相关Pa(L)、最大周期部分汉明互相关Pc(L)和最大周期部分汉明相关Pm(L)分别定义为：Pa(L)=max{H(x,x;j|L;τ)|x∈S,0<τ<N,0≤j<N},(30)Pc(L)=max{H(x,y;j|L;τ)|x,y∈S,x≠y,0≤τ,j<N},(31)Pm(L)=max{Pa(L),Pc(L)}.(32)类似地,可以定义跳频序列的非周期部分汉明相关函数.定义 3.2对于任意2个跳频序列x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)∈S,序列x和y在相对时延为,相关窗起点为j,相关窗长度为L时的非周期部分汉明相关函数定义为：其中,下标i+按模N运算.当x=y时,称为非周期部分汉明自相关函数；当x≠y时称为非周期部分汉明互相关函数.如果j=0 并且L=N,(33)式即表示(19)式中定义的非周期汉明相关函数.序列集S的最大非周期部分汉明自相关最大非周期部分汉明互相关和最大非周期部分汉明相关分别定义为：0<τ<N,0≤j<N};(34)x≠y,0≤τ<N,0≤j<N};(35)max(36)为了简化和方便,在不引起混淆的时候,令和由于跳频序列的部分汉明相关函数比较复杂,相关理论界的研究结果较少.在2004年,Eun 等[15]推导了1个跳频序列的周期部分汉明自相关的理论界.定理 3.1[15](Eun界) 令F是1个大小为q的频隙集,对于F上序列长度为N,相关窗长度为L的跳频序列,有P(37)其中,r是N模q的最小非负剩余.由于实际跳频通信系统使用序列的数目都大于1,根据Eun等理论界来判定跳频通信系统的性能具有如下局限性：1) 只考虑了周期部分汉明相关函数的理论界,没有研究非周期部分汉明相关函数的理论界；2) 即使对于最大周期部分汉明相关函数,也只考虑了1个序列最大周期部分汉明自相关值；3) 没有区分最大部分汉明自相关和最大部分汉明互相关.2010年,Niu等[16]建立了跳频序列集周期部分汉明相关函数一般形式的理论界.定理 3.2[16](Niu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有:q(N-1)Pa+q(M-1)NPc≥LMN-Lq;(38)MN(N-1)Pa+M(M-1)N2Pc≥[2MN-(I+1)q]LI,(39)其中I=NM/q.因为Pm=max{Pa,Pc},由定理3.2直接导出以下结果.定理 3.3[16](Niu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有P(40)P(41)由于Pm是正整数,所以,不等式(40)与(41)可以分别写成:P(42)P(43)2014年,Cai等[26]改进了该理论界.定理 3.4[26](Cai界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有P(44)P(45)2016年,我们找到了上述几个理论界之间的等价性[27].定理 3.5[27](Wang-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有:1) 理论界(44)与理论界(45)是等价的,即P2) 关于理论界(42)与理论界(43)的等价性,有以下结论:设MN>q,L=sq+r,s≥0,0≤r≤q-1.① 如果L>q,q不整除MN,且那么P② 否则,理论界(42)与理论界(43)是等价的,亦即P在定理3.2或定理3.3中令序列个数M=1,得到如下结果.定理 3.6(Niu-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上的1个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有：P(46)P(47)其中I=N/q.注意到,N=qI+r,容易把(47)式化成(37)式,所以,Eun界是定理3.4的直接推论.4 跳频序列汉明相关函数平均值的理论界在早期跳频序列理论界研究中,几乎都是讨论跳频序列集汉明相关函数的最大值,使用最大汉明自相关边峰值和最大汉明互相关值来评价跳频序列集的性能,这是从“最坏”的角度来评价跳频通信系统性能,主要原因是数学处理的容易性.这类理论界被称之为“最大汉明相关理论界”.而对于跳频扩频通信系统性能评估,汉明相关函数的平均值更符合实际.由于研究汉明相关平均值很难,所以,关于平均汉明相关理论界的研究结果不多.近年来,我们深入讨论了汉明相关平均值的性质,开始研究平均汉明相关的理论界,建立了一批理论界.首先给出跳频序列集平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关的定义.定义 4.1令S是F上的由M个长度为N的跳频序列组成的集合,那么S(48)S(49)分别称为跳频序列集S的周期汉明自相关碰撞总数和周期汉明互相关碰撞总数.将A(50)A(51)分别称为序列集S的平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关.在不引起混淆的时候,令Sa=Sa(S),Sc=Sc(S),Aa=Aa(S),Ac=Ac(S).很明显,跳频序列集的平均碰撞数能够度量跳时通信系统的平均错误性能.希望Aa(S)和Ac(S)越小越好.2010年,首次建立了跳频序列集的频隙数目、序列长度、序列数目、平均汉明自相关值和平均汉明互相关值等参数满足的理论界[17-18].定理 4.1[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是频隙大小为q的集合F上的由M个长度为N的跳频序列组成的集合.设Aa和Ac分别表示序列集S的平均周期汉明自相关和平均周期汉明互相关,则有(52)如果1个跳频序列集S的参数使得(52)式的等号成立,则称S是关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集.以下定理找到了最大周期汉明相关最优的跳频序列集与平均周期汉明相关最优的跳频序列集之间的1个关系.定理 4.2[17](Peng-Niu-Tang界) 令S是由F上M个长度为N的跳频序列组成的集合.如果S是关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集,那么S同时也是关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集.一般地说,定理4.2的逆不成立,即“关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集”不一定是“关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集”.现在用一个例子进行说明.例 4.1设频隙集F={0,1,2,3,4,5,6},构造3次跳频序列集S[17]如下：即S={s(1)=(0,1,1,6,1,6,6),s(2)=(0,2,2,5,2,5,5),s(3)=(0,3,3,4,3,4,4),s(4)=(0,4,4,3,4,3,3),s(5)=(0,5,5,2,5,2,2),s(6)=(0,6,6,1,6,1,1) }.可见,跳频序列集S具有以下参数：频隙数目q=7,序列长度N=7,序列数目M=6.S的周期汉明相关值为H(s(i),s(j);τ)=所以,S的最大汉明自相关边峰值Ha=2,最大汉明互相关值Hc=3,平均周期汉明自相关Aa=2和平均周期汉明互相关可以验证,这些参数使(52)式的左右两边相等,所以S是“关于平均周期汉明相关最优的跳频序列集”.将这些参数代入(6)式,得到819>245,所以S不是“关于最大周期汉明相关最优的跳频序列集”.现在讨论跳频序列集部分汉明相关函数平均值的理论界.首先给出部分汉明相关函数平均值的定义.定义 4.2[18]令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N).跳频序列集S在相关窗L内的周期部分汉明自相关函数总值与周期部分汉明互相关总值分别定义为：T(53)Tc(L):=(54)跳频序列集S在相关窗L内的周期部分汉明自相关函数平均值与周期部分汉明互相关平均值分别定义为：A(55)A(56)2010年,我们建立平均周期部分汉明相关的理论界,得到了跳频序列集的频隙数目、相关窗长度、序列数目、平均周期部分汉明自相关值和平均周期部分汉明互相关值等参数满足的不等式[18].定理 4.3[18](Niu-Peng-Liu界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有(57)(58)其中I=NM/q.在(57)式中,令L=N,则(57)式成为(52)式.所以,Peng-Niu-Tang界(52)是Niu-Peng-Liu界(57)的特殊情况.2015年,我们通过分析每个频隙在整个序列集中的分布特性,改进了跳频序列集平均部分汉明相关函数理论界.定理 4.4[28](Zhou-Peng界) 令F是1个大小为q的频隙集,S为F上M个长度为N的跳频序列构成的集合,相关窗长度为L(L≤N),则有(59)其中r是NM模q的最小非负剩余.由于(58)式中的I与(59)式中的r具有关系NM=Iq+r(0≤r<q),所以I=(NM-r)/q.将I代入(58)式的右端分子得到(2MN-Iq-q)LI=(MN+r-q)(MN-r)L/q=(M2N2+qr-r2-qMN)L/q,所以,理论界(58)与(59)式是等价的.5 结论跳频序列汉明相关值的大小是决定跳频扩频通信系统性能的重要因素之一,跳频序列理论界是跳频序列性能优异的评价标准,一直是扩频通信理论的核心研究课题.有关跳频序列理论界的研究成果最早于1974年公开发表,之后很少报道.直到2004年,我们找到了跳频序列集任意参数满足的数学关系式,分别建立了跳频序列集周期汉明相关函数的理论界与非周期汉明相关函数的理论界.从此开始,在国内外掀起了跳频序列理论界的研究热潮,许多学者开始从事跳频序列理论界的研究.据不完全统计,国家自然科学基金资助的有关跳频序列的研究项目不低于10项.研究成果非常丰富,研究范围不断扩大.从研究跳频序列周期汉明相关函数的理论界开始,逐步扩展到研究跳频序列非周期汉明相关函数的理论界和跳频序列部分汉明相关函数的理论界,不但研究跳频序列汉明相关函数最大值的理论界,而且研究跳频序列汉明相关函数平均值的理论界.并且提出了“低碰撞区跳频序列”的概念,为跳频序列的研究开创了一个新方向.本文完整地系统地阐述了跳频序列理论界的研究成果.关于低碰撞区跳频序列的理论界,将另外撰文论述.参考文献[1] FAN P Z, DARNELL M. 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文章来源：理论界 网址: http://llj.400nongye.com/lunwen/itemid-12707.shtml
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